Tổng Hợp Các Công Thức Cấp Số Cộng Và Cấp Số Nhân & Bài Tập

Công thức cấp cho số nằm trong và cấp cho số nhân là nội dung bài học kinh nghiệm yên cầu chúng ta học viên cần thiết ghi ghi nhớ rõ ràng nhằm dễ dàng và đơn giản vận dụng vô bài xích tập luyện. Đây cũng chính là dạng toán thông thường bắt gặp vô kì thi đua ĐH, chính vì thế Vuihoc tiếp tục mang tới cho những em học viên bài xích tổ hợp không thiếu thốn công thức về cấp cho số nằm trong cấp cho số nhân.

1. Cấp số nằm trong và cấp cho số nhân là gì?

1.1. Cấp số nhân

Bạn đang xem: công thức cấp số cộng cấp số nhân

Trong công tác toán trung học phổ thông, cấp cho số nhân là 1 trong sản phẩm số vừa lòng ĐK số thứ hai của sản phẩm số này là tích của số đứng trước với cùng một số ko thay đổi. Số ko thay đổi này được gọi là công bội của cấp cho số nhân. Từ cơ tớ sở hữu khái niệm về cấp cho số nhân như sau:

Un là cấp cho số nhân tương tự với un+1=un.q, vô cơ n∈N
q là công bội và q được tính: $q=\frac{u_{n+1}}{u_{n}}$

Số hạng tổng quát

Để hoàn toàn có thể tính số hạng tổng quát lác của cấp cho số nhân, tất cả chúng ta vận dụng công thức sau:

un =u1. Qn-1

Tính hóa học của cấp cho số nhân

Công thức cấp cho số nằm trong cấp cho số nhân và tính chất

Tổng n số hạng đầu

tổng n số hạng đầu công thức cấp cho số nằm trong và cấp cho số nhân

1.2. Cấp số cộng

Cấp số nằm trong được dùng làm có một sản phẩm số vừa lòng số đứng sau tự tổng của số đứng trước với một số trong những ko thay đổi. Số ko thay đổi này gọi là công sai.

Dãy số cấp cho số nằm trong hoàn toàn có thể là vô hạn hoặc hữu hạn. Ví dụ như: 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, …

Từ cơ tất cả chúng ta sở hữu tấp tểnh nghĩa:

Un là cấp cho số nằm trong nếu: u_n + 1 = u_n + d

Trong cơ sở hữu d là công sai = u_n + 1 – u_n

Số hạng tổng quát

Chúng tớ tính được số hạng tổng quát lác bằng phương pháp trải qua số hạng đầu và công sai sở hữu công thức như sau:

u_n = u₁ + (n – 1)d

Tính hóa học cấp cho số cộng

$u_{k} = \frac{u_{k - 1} + u_{k + 1}}{2}$

Tổng n số hạng đầu

$S_{n} = \frac{n(u_{1} + u_{n})}{2}; n\in \mathbb{N}^{*}$

$S_{n} = nu_{1} + \frac{n(n - 1)}{2}d$

$S_{n} = \frac{n[2u_{1} + (n - 1)d]}{2}$

2. Tổng hợp ý những công thức cấp cho số nằm trong và cấp cho số nhân

Công thức cấp cho số nhân cấp cho số nằm trong rất giản đơn ghi ghi nhớ. Đây là những công thức sở hữu tương quan cho tới độ quý hiếm đặc thù của 2 dạng sản phẩm số này.

2.1. Công thức cấp cho số cộng

Công thức cấp cho số nằm trong tổng quát:

u_n= u_m+ (n-m)d

Từ công thức tổng quát lác bên trên tớ suy rời khỏi số hạng thứ hai trở lên đường của cấp cho số cộng bằng khoảng nằm trong của 2 số hạng ngay lập tức kề nó.

$u_{k}=\frac{u_{k-1}+u_{k+1}}{2}, \forall k \geq 2$

Ví dụ: Số hạng thứ hai của cấp cho số nằm trong là từng nào biết số hạng loại 7 là 100, công sai là 2.

Giải:

Áp dụng công thức tớ sở hữu số hạng thứ hai của cấp cho số nằm trong là: u₂ = u₇ + (2 - 7)d = 100 - 5.2 = 90

Chúng tớ sở hữu 2 công thức nhằm tính tổng n số hạng đầu so với cấp cho số nằm trong. Ta có:

$S_{n} = \sum_{k = 1}^{n}u_{k} = \frac{n(u_{1} + u_{n})}{2}$

Ví dụ: Tính tổng đôi mươi số hạng đầu của cấp cho số nằm trong biết cấp cho số nằm trong sở hữu số hạng đầu tự 3 và công sai tự 2.

Giải:

Áp dụng công thức tớ có:

$S_{20} = \frac{20.(2.3 + 19.2)}{2} = 440$

2.2. Công thức cấp cho số nhân

Ta xét những cấp cho số nhân nhưng mà số hạng đầu và công bội không giống 0. Điều cơ sở hữu nghĩa toàn bộ những số hạng của cấp cho số nhân không giống 0. Ta sở hữu công thức cấp cho số nhân:

u_n=u_m.q^n-m

Ví dụ: hiểu số hạng loại 8 của cấp cho số nhân tự 32 và công bội tự 2. Tính số hạng loại 5 của cấp cho số nhân

Giải:

Áp dụng công thức tớ có:

Giải bài xích tập luyện công thức cấp cho số nằm trong và cấp cho số nhân

Từ công thức bên trên tớ suy rời khỏi được những công thức:

u_n = u₁.q^n-1, $\forall$ n $\geq$ 2

$u_{k}^{2} = u_{k - 1}. u_{k + 1}$ , $\forall$ k $\geq$ 2

Tổng n số hạng đầu cấp cho số nhân được xem theo gót công thức:

$S_{n}=\sum{k=1}^{n}=u_{1}.\frac{1-q^{n}}{1-q}$

Ví dụ: Cho cấp cho số nhân sở hữu số hạng đầu tự 2. Tính tổng 11 số hạng đầu của cấp cho số nhân.

Giải: sít dụng công thức tớ có:

Giải bài xích tập luyện ví dụ công thức cấp cho số nằm trong và cấp cho số nhân

>> Xem thêm: Công thức tính tổng cấp cho số nhân lùi vô hạn và bài xích tập

Đăng ký ngay lập tức sẽ được những thầy cô kiến thiết quãng thời gian ôn thi đua trung học phổ thông đạt 9+ sớm ngay lập tức kể từ bây giờ

3. Một số bài xích tập luyện về cấp cho số nằm trong và cấp cho số nhân (kèm tiếng giải chi tiết)

Bài 1: Tìm tư số hạng liên tục của một cấp cho số nằm trong hiểu được tổng của bọn chúng tự đôi mươi và tổng những bình phương của bọn chúng tự 120.

Giải:

Giả sử công sai là d = 2x, 4 số hạng cơ theo lần lượt là: a-3x, a-x, a+x, a+3x. Lúc này tớ có:

Bài tập luyện công thức cấp cho số nằm trong và cấp cho số nhân

Kết luận tư số tất cả chúng ta cần thiết dò la theo lần lượt là 2, 4, 6, 8

Bài 2: Cho cấp cho số cộng:

(u_n): $\left\{\begin{matrix} u_{5} + 3u_{3} - u_{2} = -21\\ 3u_{7} - 2u_{4} = -34 \end{matrix}\right.$

Hãy tính số hạng loại 100 của cấp cho số cộng?

Giải:

Từ giải thiết, tất cả chúng ta có:

$\left\{\begin{matrix} 3(u_{1} + 6d) - 2(u_{1} + 3d) = -34\\ u_{1} + 4d +3(u_{1} + 2d) - (u_{1} + d) = -21 \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} u_{1} + 3d = -7\\ u_{1} +12d = -34 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} u_{1} = 2\\ d = -3 \end{matrix}\right.$

Xem thêm: hình nền iphone 14 pro max 4k

=> $u_{100}=u_{1}+99d= -295$

Bài 3: Cho cấp cho số cộng

$u_{n}: \left\{\begin{matrix} u_{2} - u_{3} + u_{5} = 10\\ u_{4} + u_{6} = 26 \end{matrix}\right.$

Hãy tính công sai, công thức tổng quát lác cấp cho số nằm trong vẫn mang đến.

Giải:

Gọi d là công sai của cấp cho số nằm trong vẫn mang đến, tớ có:

$\left\{\begin{matrix} (u_{1} + d) - (u_{1} + 2d) + (u_{1} + 4d) = 10\\ u_{1} + 3d + (u_{1} + 5d) = 26 \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} u_{1} + 3d = 10\\ u_{1} + 4d = 13 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} u_{1} = 1\\ d = 3 \end{matrix}\right.$

Công sai của cấp cho số nằm trong bên trên d=3, số hạng tổng quát lác là u_n= u₁+(n-1)d = 3n-2

Bài 4: Cho cấp cho số cộng

$(u_{n}): \left\{\begin{matrix} u_{2} - u_{3} + u_{5} = 10\\ u_{4} + u_{6} = 26 \end{matrix}\right.$

Hãy tính S = u₁ + u₄+ u₇+…+ u₂₀₁₁?

Giải:

Ta sở hữu những số hạng u₁, u₄, u₇,…,u₂₀₁₁ lập được trở thành một cấp cho số nằm trong bao hàm 670 số hạng và sở hữu công sai d’ = 3d. Do cơ tớ có:

$S = \frac{670}{2}(2u_{1} + 669d') = 673015$

Bài 5: Cho cấp cho số nằm trong hãy xác lập công sai và công thức tổng quát:

Giải:

Gọi d là công sai của cấp cho số nằm trong, tớ có:

$\left\{\begin{matrix} u_{1} - u_{3} + u_{5} = 10\\ u_{4} + u_{6} = 26 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} u_{1} - (u_{1} + 2d) + u_{1} + 4d = 10\\ u_{1} + 3d + u_{1} + 5d = 26 \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} u_{1} + 2d = 10\\ u_{1} + 6d = 26 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} u_{1} = 1\\ d = 3 \end{matrix}\right.$

Vậy tớ sở hữu công sai của cấp cho số là d=3

Công thức tổng quát:

Bài 6: Cấp số nhân (u_n) sở hữu những số hạng không giống 0 hãy dò la u₁ biết rằng:

$\left\{\begin{matrix} u_{1}^{2} + u_{2}^{2} + u_{3}^{3} + u_{4}^{4} = 85\\ u_{1} + u_{2} + u_{3} + u_{4} = 15 \end{matrix}\right.$

Giải:

$\left\{\begin{matrix} u_{1}^{2}(1 + q^{2} + q^{4} + q^{6}) = 85\\ u_{1}(1 + q + q^{2} + q^{3}) = 15 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} u_{1}\frac{q^{4} - 1}{q - 1} = 15\\ u_{1}^{2}\frac{q^{8} - 1}{q^{2} - 1} = 85 \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow (\frac{q^{4} - 1}{q - 1})^{2} (\frac{q^{8} - 1}{q^{2} - 1}) = \frac{45}{17} \Leftrightarrow \frac{(q^{4} - 1)(q + 1)}{(q - 1)(q^{4} = 1)} = \frac{45}{17}$

$\Leftrightarrow$ q = 2 hoặc q = $\frac{1}{2}$

Kết luận u₁= 1 hoặc u₁= 8

Bài 7: Cho cấp cho số nhân sau:

$(u_{n}): \left\{\begin{matrix} u_{3} = 243u_{8}\\ u_{4} = \frac{2}{27} \end{matrix}\right.$

Hỏi 5 số hạng đầu của cấp cho số nhân bên trên là bao nhiêu?

Giải:

Gọi q là bội của cấp cho số. Theo giải thiết tất cả chúng ta có:

$\left\{\begin{matrix} u_{1}q^{2} = 243u_{1}q^{7}\\ u_{1}q^{3} = \frac{2}{27} \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \frac{1}{243} = q^{5}\\ u_{1}q^{3} = \frac{2}{27} \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} q = \frac{1}{3}\\ u_{1} = 2 \end{matrix}\right.$

5 số hạng đầu của cấp cho số nhân cần thiết dò la là u₁= 2, u₂= 23, u₃= 29, u₄= 27, u₅= 281

Bài 8: Cho cấp cho số nhân sau:

$(u^{n}): \left\{\begin{matrix} u_{3} = 243u_{8}\\ u_{4} = \frac{2}{27} \end{matrix}\right.$

Tính tổng của 10 số hạng đầu của cấp cho số nhân?

Giải:

$S_{10} = u_{1}\frac{q^{10} - 1}{q - 1} = 2.\frac{(\frac{1}{3})^{10} - 1}{q - 1} = \frac{59048}{19683}$

Bài 9: Cho cấp cho số nhân thỏa mãn

$\left\{\begin{matrix} u_{1} + u_{2} + u_{3} + u_{4} + u_{5} = 11\\ u_{1} + u_{5} = \frac{82}{11} \end{matrix}\right.$

Hãy tính công bội và công thức tổng quát lác của cấp cho số nhân bên trên.

Giải:

a. Từ fake thiết nhưng mà đề bài xích vẫn mang đến tớ có:

$\left\{\begin{matrix} u_{1} + u_{2} + u_{3} + u_{4} + u_{5} = 11\\ u_{1} + u_{5} = \frac{82}{11} \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} u_{2} + u_{3} + u_{4} = \frac{39}{11}\\ u_{1} + u_{1}q^{4} = \frac{82}{11} \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow \frac{q^{4} + 1}{q^{3} + q^{2} +q} = \frac{82}{39}$

$\Leftrightarrow (q - 3)(3q - 1)(13q^{2} + 16q + 13) = 0$

$\Leftrightarrow q = \frac{1}{3}$ hoặc q = 3

Trong TH $q = \frac{1}{3} \Leftrightarrow u_{1} = \frac{81}{11} \Leftrightarrow u_{n} = \frac{81}{11}\frac{1}{3^{n-1}}$

Trong TH q = 3 $\Leftrightarrow u_{1} = \frac{1}{11} \Leftrightarrow u_{n} = \frac{3^{n - 1}}{11}$

PAS VUIHOC – GIẢI PHÁP ÔN LUYỆN CÁ NHÂN HÓA

Khóa học tập online ĐẦU TIÊN VÀ DUY NHẤT:

⭐ Xây dựng quãng thời gian học tập kể từ rơi rụng gốc cho tới 27+

⭐ Chọn thầy cô, lớp, môn học tập theo gót sở thích

⭐ Tương tác thẳng hai phía nằm trong thầy cô

⭐ Học đến lớp lại cho tới lúc nào hiểu bài xích thì thôi

⭐ Rèn tips tricks chung tăng cường thời hạn thực hiện đề

⭐ Tặng full cỗ tư liệu độc quyền vô quy trình học tập tập

Đăng ký học tập demo không tính tiền ngay!!

Hy vọng những công thức cấp cho số nằm trong và cấp cho số nhân nhưng mà VUIHOC mang tới phần nào là chung chúng ta ghi ghi nhớ hiệu suất cao và và giới hạn sơ sót vô quy trình giải bài xích tập luyện cấp cho số cộng, cấp số nhân vô công tác Toán 11. Các chúng ta học viên hãy ĐK khóa huấn luyện và đào tạo dành riêng cho học viên lớp 12 ôn thi đua trung học phổ thông bên trên Vuihoc.vn nhé! Chúc chúng ta ôn thi đua thiệt hiệu suất cao.

>> Xem thêm:

Tổng hợp ý công thức Toán 12 ôn thi đua trung học phổ thông Quốc gia

Ôn thi đua toán chất lượng nghiệp THPT

Xem thêm: giỗ to hùng vương (ngày mấy)