căn bậc 2 của 2

By Admin 16/11/2023 0

"Hằng số Pythagoras" đem nhắm đến phía trên. Đừng lầm lẫn với Số Pythagoras.

Căn bậc nhì của 2 bởi với phỏng lâu năm của cạnh huyền của một tam giác vuông sở hữu nhì cạnh lòng bởi 1.

Căn bậc nhì của 2, hoặc lũy quá một nửa của 2, được viết lách là √2 hoặc 21⁄2, là số đại số dương sao mang lại Khi nhân với chủ yếu nó, mang lại tao số 2. Đúng rộng lớn, nó được gọi là căn bậc nhì số học tập của 2 nhằm phân biệt với số đối của chính nó sở hữu đặc điểm tương tự động.

Bạn đang xem: căn bậc 2 của 2

Trong hình học tập, căn bậc nhì của 2 là phỏng lâu năm đàng chéo cánh của một hình vuông vắn với cạnh lâu năm 1 đơn vị; bắt nguồn từ quyết định lý Pythagoras. Nó có lẽ rằng là số vô tỉ được nghe biết trước tiên.

Một số hữu tỉ xấp xỉ với căn bậc nhì của nhì với kiểu số nhỏ một vừa hai phải nên là phân số 99/70 (≈ 1.4142857).

Dãy A002193 nhập OEIS bao gồm những chữ số nhập trình diễn thập phân của căn bậc nhì của 2, cho tới 65 chữ số thập phân:

1.41421356237309504880168872420969807856967187537694807317667973799...

Lịch sử[sửa | sửa mã nguồn]

Bản khu đất sét Babylon YBC 7289 với chú thích. Ngoài việc đã cho chúng ta biết căn bậc nhì của 2 nhập hệ lục thập phân (1 24 51 10), phiên bản khu đất sét này cũng cho 1 ví dụ nếu như một cạnh của hình vuông vắn là 30 thì đàng chéo cánh là 42 25 35. Trong hệ lục thập phân 30 rất có thể là 0 30 = 1/2, còn 0 42 25 35 xấp xỉ bởi 0.7071065.

Bảng khu đất sét Babylon YBC 7289 (khoảng 1800–1600 TCN) cho 1 xấp xỉ của √2 nhập tứ chữ số lục thập phân, 1 24 51 10, trúng cho tới khoảng chừng sáu chữ số thập phân,[1] và là xấp xỉ lục thập phân rất tốt của √2 người sử dụng 4 chữ số:

Một xấp xỉ nguyên sơ không giống xuất hiện nay nhập văn khiếu nại toán học tập của nén Độ cổ kính, quyển Sulbasutras (khoảng 800–200 BC) như sau: Tăng phỏng lâu năm [của cạnh] bởi 1 phần phụ thân chủ yếu nó và 1 phần tư của 1 phần phụ thân và sụt giảm 1 phần phụ thân mươi tư của 1 phần tư cơ.[2] Tức là,

Các môn đồ dùng của Pythagoras phân phát hiện nay rằng đàng chéo cánh của hình vuông vắn và cạnh của chính nó là ko thể so sánh được, hoặc theo đuổi ngôn từ tân tiến, căn bậc nhì của 2 là một vài vô tỉ. Không nhiều điều được hiểu rõ về thời hạn hoặc tình cảnh của tìm hiểu này, tuy nhiên cái brand name thông thường được nói đến là Hippasus của Metapontum. Các môn đồ dùng Pythagoras coi tính vô tỉ của căn bậc nhì của 2 là 1 trong những kín, và theo đuổi câu nói. kể, Hippasus đã trở nên thịt vì như thế bật mí nó.[3][4][5] Căn bậc nhì của 2 nhiều lúc còn được gọi là số Pythagoras hoặc hằng số Pythagoras, như nhập Conway & Guy (1996).[6]

Thuật toán tính toán[sửa | sửa mã nguồn]

Có một vài thuật toán nhằm xấp xỉ √2, thông thường là bên dưới dạng tỉ số của nhì số nguyên vẹn hoặc một vài thập phân. Thuật toán thông dụng nhất mang lại việc này, được sử dụng thực hiện hạ tầng trong vô số nhiều PC và PC thu về, là cách thức Babylon[7], một trong mỗi cách thức tính căn bậc nhì. Thuật toán này như sau:

Đầu tiên, đoán một vài a0 > 0 bất kì. Sau cơ, người sử dụng số một vừa hai phải đoán, tính từng số hạng theo đuổi công thức truy hồi sau:

Càng rất nhiều lần triển khai phép tắc tính bên trên (tức là rất nhiều lần tái diễn và số "n" càng lớn), mang lại tao xấp xỉ càng chất lượng của căn bậc nhì của 2. Mỗi phen tính mang lại tao khoảng chừng gấp hai số chữ số trúng. Bắt đầu với a0 = 1 những số tiếp sau là

  • 3/2 = 1.5
  • 17/12 = 1.416...
  • 577/408 = 1.414215...
  • 665857/470832 = 1.4142135623746...

Giá trị của √2 được xem cho tới 137.438.953.444 chữ số thập phân bởi group của Yasumasa Kanada năm 1997. Tháng hai năm 2006, kỉ lục mang lại việc tính √2 bị đánh tan dùng một cái máy tính cá thể. Shigeru Kondo tính 1 ngàn tỷ chữ số thập phân của căn bậc nhì của 2 nhập năm 2010.[8] Trong số những hằng số toán học tập với trình diễn thập phân cần thiết nhiều khoáng sản đo lường, chỉ mất π là được xem đúng chuẩn rộng lớn.[9] Những đo lường vì vậy hầu hết là nhằm đánh giá bởi thực nghiệm coi những số cơ liệu có phải là thông thường hay là không.

Xấp xỉ hữu tỉ[sửa | sửa mã nguồn]

Một xấp xỉ hữu tỉ giản dị và đơn giản 99/70 (≈ 1.4142857) thông thường được dùng. Mặc dù cho có kiểu số đơn thuần 70, phỏng sai nghiêng của chính nó với độ quý hiếm thực sự thấp hơn 1/10,000 (khoảng +072×10−4). Do nó là 1 trong những giản phân của trình diễn liên phân số của căn bậc nhì của 2, bất kì xấp xỉ hữu tỉ nào là ngay gần rộng lớn nên sở hữu kiểu số ko nhỏ nhiều hơn 169, bởi 239/169 (≈ 1.4142012) là giản phân tiếp sau với sai số khoảng chừng −012×10−4.

Xấp xỉ hữu tỉ 665857/470832, kể từ bước loại tứ nhập cách thức Babylon phía trên chính thức với a0 = 1, sở hữu sai số khoảng chừng 16×10−12: bình phương của chính nó là 20000000000045…

Kỉ lục[sửa | sửa mã nguồn]

Đây là bảng những kỉ lục mới gần đây trong các việc tính những chữ số của √2 (1 ngàn tỉ = 1012 = một triệu.000.000).

Ngày Tên Số chữ số
28 mon 6 năm 2016 Ron Watkins 10 ngàn tỷ
3 tháng bốn năm 2016 Ron Watkins 5 ngàn tỷ
9 mon hai năm 2012 Alexander Yee 2 ngàn tỷ
22 mon 3 năm 2010 Shigeru Kondo 1 ngàn tỷ
Nguồn:[10]

Chứng minh tính vô tỉ[sửa | sửa mã nguồn]

Một minh chứng cộc về tính chất vô tỉ của √2 dùng quyết định lý nghiệm hữu tỉ, tuyên bố rằng nếu như P(x) là 1 trong những nhiều thức monic với thông số nguyên vẹn, thì bất kì nghiệm hữu tỉ nào là của P(x) cũng chính là một vài nguyên vẹn. sít dụng quyết định lý mang lại nhiều thức P(x) = x2 − 2, tao suy rời khỏi √2 hoặc là số nguyên vẹn hoặc là số vô tỉ. Vì 1<√2<2 nên nó ko là một vài nguyên vẹn, bởi vậy √2 là một vài vô tỉ. Chứng minh này rất có thể tổng quát: căn bậc nhì của bất kì số bất ngờ nào là ko nên số chủ yếu phương là một vài vô tỉ.

Xem số vô tỉ bậc nhì hoặc lùi vô hạn mang lại minh chứng rằng căn bậc nhì của bất kì số bất ngờ ko nên số chủ yếu phương nào thì cũng là vô tỉ.

Chứng minh bởi lùi vô hạn[sửa | sửa mã nguồn]

Một trong mỗi minh chứng thông dụng nhất dùng cách thức lùi vô hạn. Đây cũng chính là minh chứng bởi phản triệu chứng, nhập cơ mệnh đề cần thiết minh chứng được fake sử là sai rồi suy rời khỏi fake sử này sẽ không thể xẩy ra, tức mệnh đề cần thiết minh chứng là trúng.

  1. Giả sử √2 là một vài hữu tỉ, tức √2 rất có thể viết lách bên dưới dạng một phân số tối giản a/b, nhập cơ a và b yếu tắc cùng với nhau.
  2. Ta suy rời khỏi a2/b2 = 2 và a2 = 2b2.   (a2 và b2 là những số nguyên)
  3. Do cơ a2 là số chẵn, nên a cũng chính là số chẵn, tức tồn bên trên số nguyên vẹn k sao mang lại a = 2k.
  4. Thay 2k mang lại a nhập đẳng thức ở bước 2: 2b2 = (2k)2 tao được b2 = 2k2.
  5. Lập luận như bước 3, tao được b2 là số chẵn, nên b là số chẵn.
  6. Như vậy cả a và b đều là số chẵn, trái khoáy với fake thiết rằng a và b là nhì số yếu tắc cùng với nhau.

Vì tao suy rời khỏi được một điều vô lý, fake sử (1) rằng √2 là số hữu tỉ là sai. Tức là, √2 nên là một vài vô tỉ.

Chứng minh này được khêu ý bởi Aristotle, nhập cuốn Analytica Priora, §I.23.[11] Chứng minh hoàn hảo trước tiên xuất hiện nay nhập cỗ Trung tâm của Euclid, là mệnh đề 117 của Quyển X. Tuy nhiên, từ trên đầu thế kỷ 19 nhiều sử gia nhận định rằng minh chứng này sẽ không nằm trong phiên bản thảo gốc và bởi vậy ko thể nghĩ rằng của Euclid.[12]

Chứng minh hình học[sửa | sửa mã nguồn]

Hình 1. Chứng minh hình học tập của Stanley Tennenbaum mang lại tính vô tỉ của √2.

Một trình diễn hình học tập của minh chứng bên trên được John Horton Conway nghĩ rằng của Stanley Tennenbaum Khi ông còn là một học viên đầu những năm 1950[13] và phen xuất hiện nay mới gần đây nhất là nhập một bài xích báo bởi Noson Yanofsky nhập tập san American Scientist số mon 5-6 năm 2016.[14] Cho nhì hình vuông vắn sở hữu cạnh là số nguyên vẹn a và b, nhập cơ một chiếc sở hữu diện tích S gấp hai loại cơ, đặt điều nhì hình vuông vắn nhỏ nhập hình vuông vắn rộng lớn như nhập hình 1. Phần uỷ thác nhau ở thân thích sở hữu diện tích S ((2b − a)2) nên bởi tổng diện tích S của nhì hình vuông vắn nhỏ ko được tủ phủ (2(a − b)2). Như vậy tao nhận được nhì hình vuông vắn nhỏ rộng lớn những hình vuông vắn thuở đầu và diện tích S tính năng này gấp hai loại cơ. Lặp lại quy trình này tao rất có thể thu nhỏ những hình vuông vắn tùy ý, tuy nhiên điều này là vô nguyên nhân bọn chúng nên sở hữu cạnh là số nguyên vẹn dương, tức to hơn hoặc bởi 1.

Hình 2. Chứng minh hình học tập của Tom Apostol mang lại tính vô tỉ của √2.

Một minh chứng hình học tập dùng phản triệu chứng không giống xuất hiện nay năm 2000 nhập tập luyện san American Mathematical Monthly.[15] Nó cũng là 1 trong những minh chứng dùng cách thức lùi vô hạn, mặt khác dùng phép tắc dựng hình bởi thước kẻ và compa và đã được biết kể từ thời Hy Lạp cổ kính.

Lấy △ABC vuông cân nặng với cạnh huyền m và cạnh mặt mày n như nhập Hình 2. Theo quyết định lý Pythagoras, m/n = √2. Giả sử m và n là những số nguyên vẹn và m:n là phân số tối giản

Vẽ những cung BD và CE với tâm A. Nối DE hạn chế BC bên trên F. Dễ thấy, nhì tam giác ABC và ADE đều bằng nhau theo đuổi cạnh-góc-cạnh.

Ngoài rời khỏi tao cũng thấy △BEF là tam giác vuông cân nặng. Do cơ BE = BF = m − n. Theo tính đối xứng, DF = m − n, và △FDC cũng chính là tam giác vuông cân nặng. Ta suy rời khỏi FC = n − (m − n) = 2n − m.

Như vậy tao sở hữu một tam giác vuông cân nặng nhỏ rộng lớn với cạnh huyền 2n − m và cạnh mặt mày m − n. Chúng nhỏ rộng lớn m và n tuy nhiên sở hữu nằm trong tỉ trọng, trái khoáy với fake thiết là m:n là tối giản. Do cơ, m và n ko thể nằm trong là số nguyên vẹn, nên √2.

Chứng minh trực tiếp[sửa | sửa mã nguồn]

Một phía cút không giống mang ý nghĩa kiến tạo là thiết lập 1 ngăn bên dưới mang lại hiệu của √2 và một vài hữu tỉ bất kì. Với nhì số nguyên vẹn dương a và b, số nón trúng của 2 (tức số nón của 2 nhập khai triển rời khỏi quá số nguyên vẹn tố) của a2 là chẵn, còn của 2b2 là lẻ, nên bọn chúng là những số nguyên vẹn không giống nhau; bởi vậy | 2b2 − a2 | ≥ 1 với từng a, b nguyên vẹn dương. Khi đó[16]

Xem thêm: after i lunch i looked for my bag

bất đẳng thức cuối trúng bởi tao fake sử a/b ≤ 3 − √2 (nếu ko thì hiệu bên trên phân minh to hơn 3 − 2√2 > 0). Bất đẳng thức này mang lại tao ngăn bên dưới 1/3b2 của hiệu | √2 − a/b |, kể từ cơ kéo đến minh chứng tính vô tỉ thẳng nhưng mà ko cần thiết fake sử phản triệu chứng. Chứng minh này cho rằng tồn bên trên một khoảng cách thân thích √2 và ngẫu nhiên số hữu tỉ nào là.

Tính hóa học của căn bậc nhì của 2[sửa | sửa mã nguồn]

Một nửa của √2, mặt khác cũng chính là nghịch ngợm hòn đảo của √2, xấp xỉ bởi 0.707106781186548, là 1 trong những độ quý hiếm thông thường gặp gỡ nhập hình học tập và lượng giác vì như thế vectơ đơn vị chức năng tạo ra góc 45° với những trục thì sở hữu tọa độ

Số này thỏa mãn

Một độ quý hiếm sở hữu tương quan là tỷ trọng bạc. Hai số dương a, b sở hữu tỷ lệ bạc δS nếu

.

Bằng cơ hội đổi khác về phương trình bậc nhì, tao rất có thể giải được δS = 1 + √2.

√2 rất có thể được trình diễn theo đuổi đơn vị chức năng ảo i chỉ dùng căn bậc nhì và những phép tắc toán số học:

nếu ký hiệu căn bậc nhì được khái niệm hợp lí mang lại số phức i và −i.

√2 cũng chính là số thực có một không hai không giống 1 nhưng mà tetration vô hạn phen bởi với bình phương của chính nó. Một cơ hội tuyên bố ngặt nghèo như sau: nếu như với số thực c > 1 tao khái niệm x1 = c và xn+1 = cxn với n > 1, thì số lượng giới hạn của xn Khi n → ∞ (nếu tồn tại) gọi là f(c). Khi ấy √2 là số c > 1 có một không hai thỏa f(c) = c2. Hay phát biểu cơ hội khác:

√2 cũng xuất hiện nay nhập công thức Viète mang lại π:

với m lốt căn và trúng một lốt trừ.[17]

Ngoài rời khỏi, √2 còn xuất hiện nay trong vô số nhiều hằng con số giác:[18]

Hiện vẫn không biết liệu √2 liệu có phải là số chuẩn chỉnh, một đặc điểm mạnh rộng lớn tính vô tỉ, tuy nhiên phân tách tổng hợp trình diễn của chính nó nhập hệ nhị phân đã cho chúng ta biết sở hữu kĩ năng nó chuẩn chỉnh nhập hệ cơ số nhì.[19]

Biểu biểu diễn chuỗi[sửa | sửa mã nguồn]

Hệ thức cos π/4 = sin π/4 = 1/√2, cùng theo với những trình diễn tích vô hạn của sin và cosin mang lại ta

và

hoặc tương tự,

Ngoài rời khỏi tao rất có thể người sử dụng chuỗi Taylor của những nồng độ giác. Ví dụ, chuỗi Taylor mang lại cos π/4 mang lại ta

Chuỗi Taylor mang lại √1 + x với x = 1 cùng theo với giai quá kép n!! mang lại ta

Sử dụng đổi khác Euler nhằm đẩy mạnh vận tốc quy tụ của sản phẩm, tao được

Một công thức dạng BBP mang lại √2 vẫn không được lần rời khỏi, tuy vậy tiếp tục sở hữu những công thức dạng BBP mang lại π√2 và √2ln(1+√2).[20]

√2 rất có thể trình diễn bởi phân số Ai Cập, với kiểu số bởi những số hạng loại 2n của một sản phẩm hồi quy tuyến tính giống như sản phẩm Fibonacci. Đặt a0 = 0, a1 = 6, an = 34an − 1 − an − 2[21]

Liên phân số[sửa | sửa mã nguồn]

Xấp xỉ căn bậc nhì của 2 bởi sản phẩm giản phân.

Căn bậc nhì của 2 sở hữu trình diễn bởi liên phân số sau:

Những giản phân trước tiên là: 1/1, 3/2, 7/5, 17/12, 41/29, 99/70, 239/169, 577/408. Giản phân p/q cơ hội √2 một khoảng chừng ngay gần bởi 1/2q2√2[cần dẫn nguồn] và giản phân tiếp sau là p + 2q/p + q.

Bình phương lồng nhau[sửa | sửa mã nguồn]

Biểu thức tại đây quy tụ về √2:

Hằng số liên quan[sửa | sửa mã nguồn]

Nghịch hòn đảo của căn bậc nhì của 2 (căn bậc nhì của 1/2) là 1 trong những hằng số thông thường người sử dụng.

Xem thêm: vở bài tập toán lớp 5 trang 21 22

(dãy số A010503 nhập bảng OEIS)

Khổ giấy[sửa | sửa mã nguồn]

Năm 1786, GS cơ vật lý người Đức Georg Lichtenberg[22] phân phát hiện nay rằng ngẫu nhiên tờ giấy tờ nào là sở hữu cạnh lâu năm dài vội vàng √2 phen cạnh cộc rất có thể được gấp hai sẽ tạo trở thành một tờ giấy tờ mới mẻ sở hữu tỉ trọng y hệt tờ thuở đầu. Tỉ lệ giấy tờ này bảo vệ rằng hạn chế giấy tờ trở thành nhì nửa đã tạo ra những tờ giấy tờ nhỏ rộng lớn nằm trong tỉ trọng. Khi Đức chuẩn chỉnh hóa mẫu giấy nhập vào đầu thế kỷ trăng tròn, chúng ta người sử dụng tỉ trọng của Lichtenberg sẽ tạo trở thành giấy tờ cực khổ "A".[22] Hiện ni, tỉ trọng sườn hình (xấp xỉ) của mẫu giấy theo đuổi chi chuẩn chỉnh ISO 216 (A4, A0, vân vân) là 1:√2.

Chứng minh:
Gọi cạnh cộc và cạnh lâu năm của tờ giấy tờ, với

theo đuổi ISO 216.

Gọi là tỉ số của 1/2 tờ giấy tờ thì

.

Xem thêm[sửa | sửa mã nguồn]

  • Căn bậc nhì của 3
  • Căn bậc nhì của 5
  • Tỷ lệ bạc, 1 + √2
  • Căn bậc nhì của 2 tạo hình nhập mối liên hệ trong những f-stop của thấu kính máy hình ảnh, kéo đến tỉ trọng diện tích thân thích nhì khẩu phỏng thường xuyên là 2.
  • Hằng số Gelfond–Schneider, 2√2.
  • Công thức Viète mang lại pi

Ghi chú[sửa | sửa mã nguồn]

  1. ^ Fowler và Robson, trang 368.
    Photograph, illustration, and mô tả tìm kiếm of the root(2) tablet from the Yale Babylonian Collection Lưu trữ 2012-08-13 bên trên Wayback Machine
    High resolution photographs, descriptions, and analysis of the root(2) tablet (YBC 7289) from the Yale Babylonian Collection
  2. ^ Henderson.
  3. ^ Stephanie J. Morris, "The Pythagorean Theorem" Lưu trữ 2013-05-30 bên trên Wayback Machine, Khoa Sư phạm Toán, Đại học tập Georgia.
  4. ^ Brian Clegg, "The Dangerous Ratio..." Lưu trữ 2013-06-27 bên trên Wayback Machine, Nrich.org, mon 11 2004.
  5. ^ Kurt von Fritz, "The discovery of incommensurability by Hippasus of Metapontum", Annals of Mathematics, 1945.
  6. ^ Conway, John H.; Guy, Richard K. (1996), The Book of Numbers, Copernicus, tr. 25
  7. ^ Mặc mặc dù thời nay cụm kể từ "phương pháp Babylon" được sử dụng khá thông dụng, không tồn tại dẫn chứng thẳng nào là đã cho chúng ta biết cơ hội người Babylon tính xấp xỉ √2 bên trên phiên bản khu đất sét YBC 7289. Fowler và Robson khuyến nghị một vài fake thiết.
    Fowler và Robson, p. 376. Flannery, p. 32, 158.
  8. ^ “Constants and Records of Computation”. Numbers.computation.free.fr. ngày 12 mon 8 năm 2010. Bản gốc tàng trữ ngày một mon 3 năm 2012. Truy cập ngày 7 mon 9 năm 2012.
  9. ^ “Number of known digits”. Numbers.computation.free.fr. ngày 12 mon 8 năm 2010. Bản gốc tàng trữ ngày một mon 3 năm 2012. Truy cập ngày 7 mon 9 năm 2012.
  10. ^ “Records Set by y-cruncher”. Bản gốc tàng trữ ngày trăng tròn mon 10 năm 2015. Truy cập ngày 3 mon 10 năm 2019.
  11. ^ Trong Khi viết lách về triệu chứng mihn bởi phản triệu chứng, Aristotle nói: "đường chéo cánh của hình vuông vắn là ko thể so sánh được với cạnh của chính nó, chính vì số lẻ tiếp tục thông qua số chẵn nếu như bọn chúng so sánh được với nhau".
  12. ^ Phiên phiên bản giờ đồng hồ Hy Lạp của cục Cơ sở xuất phiên bản bởi E. F. August bên trên Berlin nhập 1826–1829 đem minh chứng này nhập phần Phụ lục. Điều tương tự động xẩy ra với phiên phiên bản của sử gia J. L. Heiberg (1883–1888).
  13. ^ Proof 8‴ Lưu trữ 2016-04-22 bên trên Wayback Machine
  14. ^ Yanofsky, N. (2016). “Paradoxes, Contradictions, and the Limits of Science”. Bản gốc tàng trữ ngày 30 mon 6 năm năm 2016.
  15. ^ Tom M. Apostol (tháng 11 năm 2000), “Irrationality of The Square Root of Two -- A Geometric Proof”, The American Mathematical Monthly, 107 (9): 841–842, doi:10.2307/2695741
  16. ^ Katz, Karin Usadi; Katz, Mikhail G. (2011), “Meaning in Classical Mathematics: Is it at Odds with Intuitionism?”, Intellectica, 56 (2): 223–302 (Mục 2.3, chú thích 15), arXiv:1110.5456, Bibcode:2011arXiv1110.5456U
  17. ^ Courant, Richard; Robbins, Herbert (1941), What is mathematics? An Elementary Approach to tướng Ideas and Methods, London: Oxford University Press, tr. 124
  18. ^ Julian D. A. Wiseman Sin and cos in surds Lưu trữ 2009-05-06 bên trên Wayback Machine
  19. ^ Good & Gover (1967).
  20. ^ “Archived copy” (PDF). Bản gốc (PDF) tàng trữ ngày 10 mon 6 năm 2011. Truy cập ngày 30 tháng bốn năm 2010.Quản lý CS1: phiên bản tàng trữ là title (liên kết)
  21. ^ “Sloane's A082405”. Bảng tra cứu giúp sản phẩm số nguyên vẹn trực tuyến. Tổ chức OEIS.
  22. ^ a b Houston, Keith (2016). The Book: A Cover-to-Cover Exploration of the Most Powerful Object of Our Time. W. W. Norton & Company. tr. 324. ISBN 0393244806.

Tham khảo[sửa | sửa mã nguồn]

  • Apostol, Tom M. (2000), “Irrationality of square root of 2 – A geometric proof”, American Mathematical Monthly, 107 (9): 841–842, doi:10.2307/2695741, JSTOR 2695741.
  • Aristotle (2007), Analytica priora, eBooks@Adelaide
  • Bishop, Errett (1985), Schizophrenia in contemporary mathematics. Errett Bishop: reflections on him and his research (San Diego, Calif., 1983), 1–32, Contemp. Math. 39, Amer. Math. Soc., Providence, RI.
  • Flannery, David (2005), The Square Root of Two, Springer-Verlag, ISBN 0-387-20220-X.
  • Fowler, David; Robson, Eleanor (1998), “Square Root Approximations in Old Babylonian Mathematics: YBC 7289 in Context” (PDF), Historia Mathematica, 25 (4): 366–378, doi:10.1006/hmat.1998.2209, Bản gốc (PDF) tàng trữ ngày 3 mon 9 năm 2006.
  • Good, I. J.; Gover, T. N. (1967), “The generalized serial test and the binary expansion of √2”, Journal of the Royal Statistical Society, Series A, 130 (1): 102–107, doi:10.2307/2344040, JSTOR 2344040.
  • Henderson, David W. (2000), “Square roots in the Śulba Sūtras”, nhập Gorini, Catherine A. (biên tập), Geometry At Work: Papers in Applied Geometry, Cambridge University Press, tr. 39–45, ISBN 978-0-88385-164-7.

Liên kết ngoài[sửa | sửa mã nguồn]

  • Gourdon, X.; Sebah, Phường. (2001), “Pythagoras' Constant: √2”, Numbers, Constants and Computation.
  • Weisstein, Eric W., "Pythagoras's Constant" kể từ MathWorld.
  • Căn bậc nhì của Hai cho tới 5 triệu chữ số bởi Jerry Bonnell và Robert J. Nemiroff. Tháng 5, 1994.
  • Căn bậc nhì của 2 là vô tỉ, một tuyển chọn tập luyện những triệu chứng minh
  • Grime, James; Bowley, Roger. “The Square Root √2 of Two”. Numberphile. Brady Haran. Bản gốc tàng trữ ngày 22 mon 5 năm 2017. Truy cập ngày 19 mon 12 năm 2019.